Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: доказательство о треугольнике и окружностях

  Медиана HA' прямоугольного треугольника BHC равна половине гипотенузы BC, значит, треугольник CA'H – равнобедренный.   ПустьO– центр описанной окружности Ω_cэтого треугольника. Тогда  OA'⊥HC || A'C'.  Следовательно, прямаяA'C'касается Ω_c. АналогичноA'C'касается описанной окружности Ω_aравнобедренного треугольникаAC'H. Как известно, продолжение общей хордыMHокружностей Ω_cи Ω_aпересекает общую касательнуюA'C'этих окружностей в серединеSотрезкаA'C'(см. задачу152779). Заметим, что точкаSлежит на медианеBB'треугольникаABC.   ЧетырёхугольникCA'MHвписан в окружность Ω_c, поэтому  ∠A'MH= 180° – ∠C.  Аналогично  ∠C'MH= 180° – ∠A.  Значит, ∠A'MC'= ∠C+ ∠A= 180° – ∠B= 180° – ∠A'BC',  поэтому четырёхугольникA'BC'M– вписанный, то есть описанная окружность Ω_bтреугольникаA'BC'тоже проходит через точкуM.   При симметрии относительно серединного перпендикуляраlк отрезкуA'C'окружность Ω_bпереходит в себя. Так какHS– медиана прямоугольного треугольникаBHB', то треугольникHSB'– равнобедренный и его высота лежит на прямойl, поэтому прямыеSHиSB'также симметричны относительноl. Значит, точкаMпересечения прямойSHи окружности Ω_bпри симметрии относительноlпереходит в точкуNпересечения прямойSB'(то есть прямойBB') и окружности Ω_b. Следовательно, дугиC'MиA'Nэтой окружности, не содержащие точкиB, равны, а потому ∠ABM= ∠C'BM= ∠A'BN= ∠CBB'.