Олимпиадная задача по планиметрии для 5–7 классов: угол PIQ в треугольнике
Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке I, ∠ABC = 120°. На продолжениях сторон AB и CB за точку B отмечены соответственно точки P и Q так, что AP = CQ = AC. Докажите, что угол PIQ – прямой.
Разобрать решение
Решение 1: Заметим, что ∠ABQ = ∠CBP = ∠ABI = ∠CBI = 60°.
Пусть ∠BAC= 2x, а ∠BCA= 2y, тогда (из треугольникаABC) 2x+ 2y+ 120° = 180°, то есть x + y= 30°. ТреугольникиACIиQCIравны (по первому признаку), поэтому ∠CQI= ∠CAI = x. Из треугольникаQBI: ∠QIB= 180° – 120° –x= 60° –x. Аналогично PIB= 60° –y. Таким образом, ∠PIQ= ∠PIB+ ∠QIB= (60° –y) + (60° –x) = 120° – (x + y) = 120° – 30° = 90°.
Решение 2: Пусть биссектриса CI пересекает AQ в точке M (см. рис.).
Эта биссектриса – ось симметрии углаC, точкиAиQсимметричны относительно неё, значит, углыAIMиQIMравны. ∠AIC= 90° + 60° = 150° (см. задачу[155448](https://mirolimp.ru/tasks/155448)), поэтому ∠AIM= 30°, а ∠AIQ= 2∠AIM= 60°. Аналогично ∠CIP= 60°, и ∠PIQ= 180° – ∠MIQ– ∠CIP= 180° – 30° – 60° = 90°.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.