Олимпиадная задача по планиметрии о пересечении прямых в треугольнике АВС для 9–11 классов

  Пусть перпендикуляр к ВС, проходящий через точку А₁, пересекает АО в точке Q. Далее можно рассуждать по-разному.   Первый способ. Из вершины А проведём высоту треугольника АВС, а через точку А₁ – прямую, параллельную АО, которая пересечёт высоту в точке Р (рис. слева). Тогда четырёхугольник АРА₁Q – параллелограмм.

  Этот параллелограмм является ромбом, так как прямые АО и АН (Н – ортоцентр треугольника АВС) симметричны относительно биссектрисы АА₁ (см. решение задачи 216989), то есть диагональ АА₁ параллелограмма АРА₁Q является биссектрисой его угла.

  Следовательно, диагональ PQ является серединным перпендикуляром к отрезку АА₁, то есть три прямые, указанные в условии, пересекаются в точке Q.

 Второй способ. Продлим биссектрисуАА₁до пересечения с описанной окружностью треугольникаАВС, в точкеW(рис. справа). Тогда  OW⊥BC  и серединный перпендикулярOKк отрезкуAWсодержит диаметр окружности (K– серединаAW).   Так как  A₁Q || WO,  то при гомотетии с центромА, переводящей точкуOв точкуQ, образом точки Wявляется точкаА₁. Следовательно, образом прямойOKпри этой гомотетии является прямаяQN, также перпендикулярнаяАА₁, причём образом точкиKявляется серединаNотрезкаАА₁. Таким образом, три прямые, указанные в условии задачи, пересекаются в точкеQ.