Олимпиадная задача по стереометрии: тетраэдр MNPQ и пирамида ABCD (10–11 класс)

Поскольку MNPQ – правильный тетраэдр (рис.1), PQ MN , а т.к. MN || AB , то PQ || AD , значит PQ AB .

Пусть QO – высота правильного тетраэдра MNPQ , а DH – высота пирамиды ABCD . Тогда точки B , O и H лежат на одной прямой – проекции наклонной BD на плоскость ABC . Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что AH AB и CH BC , поэтому ABCH – прямоугольник. Его диагонали AC и BH равны и делятся их точкой пересечения E пополам.

Пусть ребро правильного тетраэдра MNPQ равно a . Вершины M и N равностороннего треугольника MNP лежат соответственно на гипотенузе AC и на катете BC прямоугольного треугольника ABC , а вершина P – на катете AB , причём MN || AB (рис.2), поэтому

BPN = MNP = 60^o, BP = NP = , BN = .

Продолжим отрезок PO до пересечения с MN и AC в точках G и F соответственно. Обозначим

EOF = BOP = OBC = EBC = ECB = EFO= α.

Из прямоугольного треугольника BPO находим, что

tg α = = = .

Тогда

cos α = = = ,

BO = = = , FG = = = = ,

OF = OG+FG = + =.

Из равнобедренного треугольника OEF находим, что

OE = = = ,

Следовательно,

AC=2BE = 2(BO+OE) = 2(+)= ,

BC = AC cos α = · = , AB=BC tg α = · = ,

S_{Δ ABC} = BC· AB = · · = .

Из подобия прямоугольных треугольников QOB и DHB (рис.1) находим, что

= = = = .

Следовательно,

= = · = · = · =.

.