Олимпиадная задача по стереометрии: найти радиус цилиндра в призме (10-11 класс)

Задача

Сторона основания ABC правильной призмы ABCA1B1C1равна 1, а каждое из боковых рёбер имеет длину . Прямой круговой цилиндр расположен так, что точка A1и середина M ребра CC1лежат на его боковой поверхности, а ось цилиндра параллельна прямой AB1и отстоит от неё на расстоянии . Найдите радиус цилиндра.

Решение

Из прямоугольных треугольников AA1B1и A1MC1находим, что

AB1 = = = ,

A1M = = = .

Пусть P и Q – проекции точек соответственно A1и M на прямую AB1(рис.1). Треугольник AMB1– равнобедренный ( MA1=MA=MB1), поэтому его высота MQ является медианой, значит, Q – середина AB1. По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе QA1=AB1 = = AA1. В равнобедренном треугольнике AA1Q высота A1P является медианой, значит, P – середина AQ .

В прямоугольном треугольнике AA1B1известно, что

tg AB1A1= = ,

следовательно,

AB1A1= 30^o, A1P = A1B1 = .

Пусть E – середина AB . Тогда

MQ = CE = = .

Если A2и M2– проекции соответственно точек A1и M на ось l цилиндра, а R – радиус цилиндра. Тогда A1A2=MM2=R . Поскольку прямые l и AB1параллельны, прямая AB1перпендикулярна двум пересекающимся прямым A1P и A1A2плоскости A1PA2, поэтому A2P AB1и A2P l . Аналогично, M2Q AB1и M2Q l , значит, A2P=M2Q = .

Плоскости A1A2P и MM2Q параллельны, т.к. обе они перпендикулярны прямой l . При параллельном переносе на вектор точка Q перейдёт в точку P , точка M2– в точку A2, точка M – в некоторую точку M1, при этом

M1A2 = MM2=R, M1P = MQ = , A2M2 = PQ = AQ-AP = - =.

а т.к. прямая MQ перпендикулярна плоскости AA1B1B и M1P || MQ , то и прямая M1P перпендикулярна этой плоскости, значит, M1P A1P .

Рассмотрим плоскость прямоугольного треугольника A1PM1. Предположим, что луч PA2проходит между сторонами прямого угла A1PM1. Обозначим M1PA2 = α . Тогда A1PA2 = 90^o - α . По теореме косинусов