Олимпиадная задача по стереометрии: найти объём пирамиды SABCD, все вершины на рёбрах пирамиды MNPQ

Вершина S правильной пирамиды SABCD лежит на ребре QM , поэтому вершины основания ABCD лежат на рёбрах MN , QN , QP и MP . Пусть точки A , B , C и D принадлежат соответственно этим рёбрам (рис.1). Плоскости MNP и QNP проходят через параллельные прямые AD и BC соответственно и пересекаются по прямой NP , значит, AD || NP и BC || NP . Аналогично, AB || QM и CD || QM . Пирамида SABCD – правильная, поэтому ABCD – квадрат.

Положим MQ = 4x , MS=3x , =k . Тогда

SQ=x, AB=BC=kNP = 5k, AB = (1-k)MQ = 4(1-k)x, AM = kMN=5k.

Из равенства4(1-k)x=5k находим, что x= Обозначим QMN = QNM = α . Тогда MQN = 180^o - 2α . Из равнобедренного треугольника MQN находим, что

cos α = = = .

Тогда

cos MQN = cos(180^o-2α)=

• cos 2α= 1-2 cos2 α = 1-2()2 = 1-.

По теореме косинусов

AS2 = MS2+AM2-2MS· AM cos α = 9x2+25k2 - 2· 3x· 5k· = 9x2+25k2-k,

BS2 = QS2+QB2-2QS· QB cos (180^o-2α) = x2+16k2x2 - 2x· 4kx· (1-)=

=x2+165k2x2-8kx2+k,

а т.к. AS=BS , то

9x2+25k2-k=x2+165k2x2-8kx2+k

8x2+ 25k2-16k2x2 + 8kx2 - 25k=0.

Подставив x= в последнее уравнения, после очевидных преобразований получим уравнение(5k-2)(1-k)=0, а т.к. k<1, то k= . Тогда

x==, SB=SC=SD = SA = =

== = ,

AB=BC=CD=AD = 5k = 2.

Пусть SO – высота правильной четырёхугольной пирамиды SABCD . Из прямоугольного треугольника AOS находим что

SO = = = .

Следовательно,

V_SABCD = AB2· SO = · 4· = .

.