Олимпиадная задача по планиметрии: радиусы вписанных окружностей и медиана, 8–9 класс
Задача
Точка M лежит на стороне BC треугольника ABC . Известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник ABM , в два раза больше радиуса окружности, вписанной в треугольник ACM . Может ли отрезок AM оказаться медианой треугольника ABC ?
Решение
Пусть S – площадь треугольника ABC , r – радиус окружности, вписанной в треугольник AMC . Тогда
радиус окружности, вписанной в треугольник ABM равен2r .
Допустим, что AM – медиана треугольника ABC . Тогда
площади треугольников ABM и ACM равны 
.
Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности, поэтому
= 
,
r= 
= 
,
=
,
=
,
AC=2AB+AM+2BM-CM = 2AB + AM + CM > AM+CM,
Ответ
Нет.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет