Олимпиадная задача по планиметрии: доказательство равенства в треугольнике 8-9 класс
Задача
В треугольник ABC с прямым углом C вписана окружность, касающаяся сторон AC , BC и AB в точках M , K и N соответственно. Через точку K провели прямую, перпендикулярную отрезку MN . Она пересекла катет AC в точке X . Докажите, что CK=AX .
Решение
Решение задачи отсутствует
Ответ
Центр O окружности, вписанной в треугольник ABC ,
лежит на биссектрисе угла MAN , а т.к. биссектриса равнобедренного
треугольника является его высотой, то AO 
MN , значит, AO || XK .
Радиус OK , проведённый в точку касания окружности с катетом BC , перпендикулярен BC , поэтому OK || AX . Противоположные стороны четырёхугольника AXKO попарно параллельны, значит, AXKO – параллелограмм. Следовательно, AX=OK , а т.к. OKCM – квадрат, то CK= OK = OX .
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь