Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 11 класса - сложность 2 с решениями

Постройте изображение параллелепипеда<i> ABCDA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D</i>1, если даны изображения точек<i> A </i>,<i> B </i>,<i> D </i>и<i> A</i>1.

Постройте изображение призмы<i> ABCA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1, если даны изображения середин отрезков<i> AA</i>1,<i> BC </i>,<i> CC</i>1и<i> A</i>1<i>C</i>1.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с его рёбрами углы<i> α </i>,<i> β </i>и<i> γ </i>. Докажите, что<i> cos</i>2<i>α + cos</i>2<i>β + cos</i>2<i>γ = </i>1.

Диагонали трёх различных граней прямоугольного параллелепипеда равны<i> m </i>,<i> n </i>и<i> p </i>. Найдите диагональ параллелепипеда.

Через точку на ребре треугольной пирамиды проведены две плоскости, параллельные двум граням пирамиды. Эти плоскости отсекают две треугольные пирамиды. Разрежьте оставшийся многогранник на две треугольные призмы.

Рассмотрим две треугольные пирамиды, вершинами которых служат вершины данного параллелепипеда (каждая вершина параллелепипеда является вершиной одной пирамиды). Возможно ли, чтобы каждая вершина одной из пирамид принадлежала плоскости грани другой пирамиды, и наоборот?

Покажите, что в кубе можно выбрать четыре вершины, являющиеся вершинами правильного тетраэдра, причём сделать это можно двумя способами.

Найдите расстояние между серединами непараллельных сторон разных оснований правильной треугольной призмы, все рёбра которой равны 2.

Ортогональные проекции отрезка на три попарно перпендикулярные прямые равны 1, 2 и 3. Найдите длину этого отрезка.

Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 2, 3, и 4. Найдите угол между его диагоналями.

Найдите расстояние от центра грани единичного куба до вершин противоположной грани.

<link rel="stylesheet" type="text/css" href="https://problems.ru/style/my.css">Пусть<i>V</i> ─ объём тетраэдра,<i>S</i>₁ и<i>S</i>₂ ─ площади двух граней,<i>a</i> ─ длина их общего ребра, φ ─ величина двугранного угла между<table class="formula"><tr><td>ними. Докажите, что <i>V</i> = </td><td><table><tr><td class="numer">2</td></tr><tr><td></td></tr><tr><td class="denom">3</td></tr></table></td><td> · </td><td><table><tr><td class="numer"><i>S</i>₁<i>S</i>₂ sin φ</td></t...

<link rel="stylesheet" type="text/css" href="https://problems.ru/style/my.css">Три отрезка, не лежащие в одной плоскости, имеют общую точку и делятся этой точкой пополам. Докажите, что концы этих отрезков служат вершинами параллелепипеда.

Докажите, что высоты тетраэдра пересекаются в одной точке (ортоцентрический тетраэдр)}тогда и только тогда, когда отрезки, соединяющие середины противолежащих рёбер, равны.

Через противоположные рёбра<i> AB </i>и<i> CD </i>тетраэдра<i> ABCD </i>проведены две параллельные плоскости. Аналогично, две параллельные плоскости проведены через рёбра<i> BC </i>и<i> AD </i>, а также – через рёбра<i> AC </i>и<i> BD </i>. Эти шесть плоскостей задают параллелепипед. Докажите, что если тетраэдр<i> ABCD </i>– ортоцентрический (его высоты пересекаются в одной точке), то все рёбра параллелепипеда равны; а если тетраэдр<i> ABCD </i>– равногранный (все его грани – равные между собой треугольники), то параллелепипед – прямоугольный.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна<i> l </i>и образует с плоскостью основания угол<i> α </i>. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площадь его основания равна<i> S </i>.

В параллелепипеде<i> ABCDA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D</i>1грань<i> ABCD </i>– квадрат со стороной 5, ребро<i> AA</i>1также равно 5, и это ребро образует с рёбрами<i> AB </i>и<i> AD </i>углы60<i>^o </i>. Найдите диагональ<i> BD</i>1.

Основания параллелепипеда – квадраты со стороной<i> b </i>, а все боковые грани – ромбы. Одна из вершин верхнего основания одинаково удалена от всех вершин нижнего основания. Найдите объём параллелепипеда.

В прямоугольном параллелепипеде<i> ABCDA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D</i>1диагонали<i> AC </i>и<i> BD </i>основания<i> ABCD </i>пересекаются в точке<i> M </i>,<i> <img src="/storage/problem-media/111108/problem_111108_img_2.gif"> AMB = α </i>. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если<i> B</i>1<i>M=b </i>,<i> <img src="/storage/problem-media/111108/problem_111108_img_2.gif"> BMB</i>1<i> = β </i>.

Через каждую вершину единичного куба проведены плоскости, перпендикулярные одной и той же диагонали куба. На какие части делится диагональ этими плоскостями.

Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен<i> ϕ </i>. Найдите угол боковой грани с плоскостью основания пирамиды.

Угол боковой грани с плоскостью основания правильной треугольной пирамиды равен<i> β </i>. Найдите плоский угол при вершине пирамиды.

Угол между боковыми гранями правильной треугольной пирамиды равен<i> γ </i>. Найдите угол боковой грани с плоскостью основания.

Угол боковой грани с плоскостью основания правильной треугольной пирамиды равен<i> β </i>. Найдите угол между боковыми гранями.

Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен<i> ϕ </i>. Найдите угол бокового ребра с плоскостью основания пирамиды.