Олимпиадная задача по стереометрии: диагональ BD₁ в параллелепипеде для 10-11 класса

Треугольник AA1B – равносторонний, т.к. AA1=AB и BAA1 = 60^o . Поэтому A1B = AA1=5. Аналогично, A1D = 5. Боковые рёбра A1A , A1B и A1D треугольной пирамиды A1ABD с вершиной A1равны между собой, значит, высота A1O этой пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания ABD , а т.к. треугольник ABD прямоугольный, то точка O – середина его гипотенузы BD , т.е. центр квадрата ABCD .

Из прямоугольного треугольника OBA1находим, что

A1O = = = .

Поскольку D1C = A1B = A1A = D1D , точка D1равноудалена от вершин C и D , поэтому её ортогональная проекция K на плоскость основания ABCD также равноудалена от C и D , а значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD . Поскольку D1K || A1O и D1K =A1O , четырёхугольник A1D1KO – прямоугольник, поэтому OK = A1D1 = 5.

Продолжим отрезок KO до пересечения со отрезком AB в точке M . Тогда M – середина AB и MK = MO+OK = . Из прямоугольных треугольников MKB и KBD1находим, что

BK = = = ,

BD1 = = = = = 5.

= ++ BD12= (++)2=

=2+2+2+ 2· + 2· + 2· =

=25+25 +25 + 2· 25 cos 120^o + 2· 25 cos 90^o+ 2· 25 cos 60^o= 75

BD1= = 5.

5 .