Олимпиадная задача по стереометрии: четыре вершины куба — правильный тетраэдр
Задача
Покажите, что в кубе можно выбрать четыре вершины, являющиеся вершинами правильного тетраэдра, причём сделать это можно двумя способами.
Решение
Рассмотрим кубABCDA₁B₁C₁D₁ (AA₁ ∥ BB₁ ∥ CC₁ ∥ DD₁) с ребром a.
| Все рёбра пирамид ACB₁D₁ и BDA₁C₁ равны |
| , поэтому эти |
Докажем, что никакая другая четвёрка вершин куба не может образовывать правильный тетраэдр. В самом деле, три вершины, принадлежащие одной грани куба не могут быть вершинами правильного тетраэдра, так как треугольник с вершинами в этих точках ─ прямоугольный. Остаётся случай, когда две вершины лежат в одной грани куба, а две другие ─ в противоположной. Если это, например,A, BиB₁, C₁, тоAB ≠ AC₁, а еслиA, BиB₁, D₁, тоAB ≠ B₁D₁. Остальное аналогично. Таким образом, возможны только случаи, когда две вершины тетраэдра являются концами диагонали грани куба, а две другие ─ концами скрещивающейся с ней диагонали противоположной грани.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь