Олимпиадная задача по стереометрии: разбиение диагонали куба плоскостями
Задача
Через каждую вершину единичного куба проведены плоскости, перпендикулярные одной и той же диагонали куба. На какие части делится диагональ этими плоскостями.
Решение
Рассмотрим плоскость, проходящую через вершины B1, A и C куба ABCDA1B1C1D1. Ортогональная проекция BD диагонали BD1куба на плоскость основания ABCD перпендикулярна прямой AC ,
поэтому BD1 
AC . Аналогично, BD1 AB1. Значит,
диагональ BD1перпендикулярна плоскости треугольника AB1C .
Кроме того, известно, что диагональ BD1делится плоскостью
треугольника AB1C в отношении1:2, считая от точки B (это
верно для любого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1).
Поскольку через данную точку проходит ровно одна плоскость, перпендикулярная данной прямой, плоскость треугольника AB1C и есть одна из плоскостей, о которых говорится в условии задачи (она проходит через вершины A , B1, C и перпендикулярна диагонали BD1куба).
Аналогично докажем, что плоскость треугольника A1C1D также перпендикулярна диагонали BD1и делит её в отношении1:2, считая от вершины D1. Следовательно, плоскости, о которых говорится в условии задачи, делят диагональ BD1куба на три равные части.
Поскольку единичного диагональ куба равна 
, каждая из этих частей
равна 
.
Ответ
На три равные части.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь