Олимпиадная задача по стереометрии 10-11 класс: формула объёма тетраэдра через площади граней
Нет ответа
Задача
ПустьV ─ объём тетраэдра,S₁ иS₂ ─ площади двух граней,a ─ длина их общего ребра, φ ─ величина двугранного угла между
| ними. Докажите, что V = |
| · |
| . |
Решение
Пусть реброABтетраэдраABCDравноa, угол между гранямиABCиABDравен φ,S△ABC = S₁,S△ABD = S₂.
ЕслиDH ─ высота тетраэдра, опущенная на основаниеABC, аHM ─ перпендикуляр, опущенный из точки HнаAB, то по теореме о трёх перпендикулярахDM ⊥ AB. Значит,DMH ─ линейный угол двугранного угла тетраэдра при ребреAB. Поэтому ∠DMH = φ. Тогда
V = VABCD = ⅓S△ABC · DH = ⅓S₁ · DM sin φ =
| = |
| S₁ · |
| sin φ = |
| · |
| . |
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет