Олимпиадная задача по стереометрии: три отрезка и параллелепипед, 10-11 класс
Нет ответа
Задача
Три отрезка, не лежащие в одной плоскости, имеют общую точку и делятся этой точкой пополам. Докажите, что концы этих отрезков служат вершинами параллелепипеда.
Решение
Пусть O ─ общая середина отрезковAA₁,BB₁ иDD₁. ТогдаAB ∥ A₁B₁ иAD ∥ A₁D₁. Значит, плоскостиABDиA₁B₁D₁ параллельны. Аналогично, плоскостьADB₁ параллельна плоскостиA₁D₁B.
В плоскостяхADBиA₁B₁D₁ возьмём соответственно точки CиC₁ так, чтоABCDиA₁B₁C₁D₁ ─ параллелограммы. ПосколькуCD ∥ AB,AB ∥ A₁B₁ иA₁B₁ ∥ C₁D₁, тоCD ∥ C₁D₁. Поэтому плоскостиABD₁ иDB₁A₁ также параллельны. ШестигранникABCDC₁D₁A₁B₁ образован пересечением трёх пар параллельных плоскостей. Следовательно, это параллелепипед.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет