Назад

Олимпиадная задача: угол между диагоналями прямоугольного параллелепипеда

Задача 211122 • Сложность: 2 • 10-11 класс
Нет ответа
Задача

Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 2, 3, и 4. Найдите угол между его диагоналями.

Разделы:
Стереометрия
Источники:
Система задач по геометрии Р.К.Гордина (zadachi.mccme.ru) Интернет-ресурсы
Количество версий:
4
Решение

Рассмотрим прямоугольный параллелепипедABCDA₁B₁C₁D₁, в которомAB = 2,AD = 3,AA₁ = 4. Пусть его диагонали пересекаются в точке O. Сечение параллелепипеда плоскостьюADC₁B₁ ─ прямоугольник со сторонами

AD = B₁C₁ = 3,   DC₁ = AB₁ = 
√AA₁² + A₁B₁²
 = 
√16 + 4
 = 
2√5
.
Обозначим ∠AOD = α. Угол AOD ─ внешний угол равнобедренного треугольникаAOB₁,
поэтому ∠C₁AB₁ = 
α
2
. Из прямоугольного треугольника AC₁B₁ находим, что
tg 
α
2
 = 
B₁C₁
AB₁
 = 
3
2√5
 = 
3
√5
10
 < 1.
Значит, 
α
2
 < 45°, а α < 90°. Поэтому AOD ─ угол между диагоналями данного
прямоугольного параллелепипеда. Поскольку tg 
α
2
 = 
3
√5
10
, то
cos α = 
1 − tg² 
α
2
1 + tg² 
α
2
 = 
1 − 
9
20
1 + 
9
20
 = 
11
29
.
Следовательно, α = arccos 
11
29
.
Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет