Олимпиадная задача по стереометрии для 10–11 класса: Пирамиды в параллелепипеде
Задача
Рассмотрим две треугольные пирамиды, вершинами которых служат вершины данного параллелепипеда (каждая вершина параллелепипеда является вершиной одной пирамиды). Возможно ли, чтобы каждая вершина одной из пирамид принадлежала плоскости грани другой пирамиды, и наоборот?
Решение
Рассмотрим параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Треугольные пирамиды ABDD1и A1B1C1C удовлетворяют условию задачи. Действительно, вершины первой пирамиды лежат в плоскостях граней второй:
вершина A – в плоскости A1C1C ,
вершина B – в плоскости B1C1C ,
вершина D – в плоскости A1B1C ,
вершина D1– в плоскости A1B1C1;
вершины второй пирамиды лежат в плоскостях граней первой:
вершина A1– в плоскости ADD1,
вершина B1– в плоскости BDD1,
вершина C1– в плоскости ABD1,
вершина C – в плоскости ABD .
Ответ
Да.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь