Олимпиадная задача по стереометрии о тетраэдре и параллелепипеде для 10-11 классов
Задача
Через противоположные рёбра AB и CD тетраэдра ABCD проведены две параллельные плоскости. Аналогично, две параллельные плоскости проведены через рёбра BC и AD , а также – через рёбра AC и BD . Эти шесть плоскостей задают параллелепипед. Докажите, что если тетраэдр ABCD – ортоцентрический (его высоты пересекаются в одной точке), то все рёбра параллелепипеда равны; а если тетраэдр ABCD – равногранный (все его грани – равные между собой треугольники), то параллелепипед – прямоугольный.
Решение
а) Известно, что противолежащие рёбра ортоцентрического тетраэдра
попарно перпендикулярны: AB 
CD , AC BD и AD BC .
Достроим тетраэдр ABCD до параллелепипеда AKBLNDMC ( AN || KD || BM || LC ), проведя через
его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей.
Так как KL || CD , то KL AB , поэтому параллелограмм AKBL – ромб, значит, AK=KB=BL=AL . Аналогично, AK=KD=DN=AN и AL=LC=CN=AN .
Следовательно, все рёбра параллелепипеда AKBLNDMC равны.
б) Известно, что противолежащие рёбра равногранного тетраэдра попарно равны: AB = CD , AC = BD и AD = BC . Достроим тетраэдр ABCD до параллелепипеда AKBLNDMC ( AN || KD || BM || LC ), проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей.
Так как KL = CD , то KL = AB , поэтому параллелограмм AKBL – прямоугольник. Аналогично, остальные грани параллелепипеда AKBLNDMC – прямоугольники, т.е. параллелепипед – прямоугольный.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь