Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» - сложность 1-2 с решениями

Расстояние между параллельными прямыми равно 24. На одной из них лежит точка<i> C </i>, на другой — точки<i> A </i>и<i> B </i>, причём треугольник<i> ABC </i>— равнобедренный и остроугольный, а его боковая сторона равна 25. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник<i> ABC </i>.

Расстояние между параллельными прямыми равно<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116104/problem_116104_img_2.gif"> </i>. На одной из них лежит точка<i> C </i>, на другой — точки<i> A </i>и<i> B </i>, причём треугольник<i> ABC </i>— равнобедренный. Известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник<i> ABC </i>, равен<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116104/problem_116104_img_3.gif"> </i>. Найдите<i> AB </i>.

Окружности с центрами<i> O</i>1и<i> O</i>2имеют общую хорду<i> AB </i>,<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116102/problem_116102_img_2.gif"> AO</i>1<i>B = </i>120<i>^o </i>. Отношение длины второй окружности к длине первой равно<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116102/problem_116102_img_3.gif"> </i>. Найдите угол<i> AO</i>2<i>B </i>.

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов.

Докажите, что середины отрезков четырёх общих касательных этих окружностей лежат на одной прямой.

Точки <i>X'</i> и <i>Y'</i> – образы точек <i>X</i> и <i>Y</i> при инверсии относительно окружности с центром <i>O</i> радиуса <i>R</i>, причём точки <i>X</i> и <i>Y</i> отличны от <i>O</i>.

Докажите, что  <i>X'Y' = XY</i>·<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116094/problem_116094_img_2.gif"> .

Пусть при инверсии относительно окружности с центром<i> O </i>точка<i> A </i>переходит в точку<i> A' </i>, а точка<i> B </i>— в<i> B' </i>. Докажите, что треугольники<i> AOB </i>и<i> B'OA' </i>подобны.

На медиане <i>AM</i> треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>K</i>, причём  <i>AK</i> : <i>KM</i> = 1 : 3.

Найдите отношение, в котором прямая, проходящая через точку <i>K</i> параллельно стороне <i>AC</i>, делит сторону <i>BC</i>.

В прямоугольном треугольнике синус меньшего угла равен<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115930/problem_115930_img_2.gif"> </i>. Перпендикулярно гипотенузе проведена прямая, разбивающая треугольник на две равновеликие части. В каком отношении эта прямая делит гипотенузу?

Найдите радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 13, 14, 15.

Найдите радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 13, 13, 10.

Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна<i> a </i>, средняя линия трапеции равна<i> b </i>, а острый угол при основании равен45<i>^o </i>. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.

Равносторонний треугольник<i> ABC </i>со стороной 3 вписан в окружность. Точка<i> D </i>лежит на окружности, причём хорда<i> AD </i>равна<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115926/problem_115926_img_2.gif"> </i>. Найдите хорды<i> BD </i>и<i> CD </i>.

В треугольнике <i>ABC</i> известно, что  <i>AB = c,  BC = a</i>,  ∠<i>B</i> = 120°.  Найдите расстояние между основаниями высот, проведённых из вершин <i>A</i> и <i>C</i>.

Сторона треугольника равна  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115924/problem_115924_img_2.gif"> ,   углы, прилежащие к ней, равны 75° и 60°.

Найдите отрезок, соединяющий основания высот, проведённых из вершин этих углов.

Внутри квадрата <i>ABCD</i> взята точка <i>E</i>. Пусть <i>ET</i> – высота треугольника <i>ABE, K</i> – точка пересечения прямых <i>DT</i> и <i>AE, M</i> – точка пересечения прямых <i>CT</i> и <i>BE</i>. Докажите, что отрезок <i>KM</i> – сторона квадрата, вписанного в треугольник <i>ABE</i>.

В трапеции <i>ABCD</i> боковая сторона <i>AB</i> перпендикулярна основаниям <i>AD</i> и <i>BC</i>, диагонали трапеции пересекаются в точке <i>E, F</i> – основание перпендикуляра, опущенного из точки <i>E</i> на сторону <i>AB</i>. Известно, что  ∠<i>DFE</i> = α.  Найдите ∠<i>CFE</i>.

Две точки, выбранные на противоположных сторонах прямоугольника, соединены отрезками с вершинами прямоугольника.

Докажите, что площади семи частей, на которые разбился при этом прямоугольник, не могут оказаться все одинаковы.

Точки <i>P</i> и <i>Q</i> лежат на сторонах соответственно <i>BC</i> и <i>CD</i> квадрата <i>ABCD</i>, причём треугольник <i>APQ</i> – равносторонний. Прямая, проходящая через точку <i>P</i> перпендикулярно стороне <i>AQ</i>, пересекает <i>AD</i> в точке <i>E</i>. Точка <i>F</i> расположена вне треугольника <i>APQ</i>, причём треугольники <i>PQF</i> и <i>AQE</i> равны.

Докажите, что  <i>FE</i> = 2<i>FC</i>.

Точки <i>D, E</i> и <i>F</i> выбраны на сторонах <i>AC, AB</i> и <i>BC</i> равнобедренного треугольника <i>ABC</i>  (<i>AB = BC</i>) так, что  <i>DE = DF</i>  и при этом  ∠<i>BAC</i> = ∠<i>FDE</i>.

Докажите, что  <i>AE + FC = AC</i>.

Точки <i>D, E</i> и <i>F</i> выбраны на сторонах <i>AC, AB</i> и <i>BC</i> равнобедренного треугольника <i>ABC</i>  (<i>AB = BC</i>)  так, что  <i>DE = DF</i>  и при этом  <i>AE + FC = AC</i>.

Докажите, что  ∠<i>A</i> = ∠<i>FDE</i>.

В круге с центром<i> O </i>хорда<i> AB </i>пересекает радиус<i> OC </i>в точке<i> D </i>, причём<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115706/problem_115706_img_2.gif"> CDA = </i>120<i>^o </i>. Найдите радиус окружности, касающейся отрезков<i> AD </i>,<i> DC </i>и дуги<i> AC </i>, если<i> OC = </i>2,<i> OD = <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115706/problem_115706_img_3.gif"> </i>.

Стороны треугольника равны 10, 17 и 21. Найдите высоту треугольника, проведённую из вершины наибольшего угла.

Высота равнобедренного треугольника, опущенная на боковую сторону, разбивает её на отрезки, равные 2 и 1, считая от вершины треугольника. Найдите основание треугольника.

Найдите высоту прямоугольного треугольника, опущенную на гипотенузу, если известно, что основание этой высоты делит гипотенузу на отрезки, равные 1 и 4.

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 12 и 20 соответственно. Найдите высоту, проведённую из вершины прямого угла.