Олимпиадная задача по планиметрии: деление гипотенузы в прямоугольном треугольнике

Пусть M — точка на гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC , sin A = , N точка на катете AC , MN AB и S_{Δ AMN}=S_{Δ ABC} . Обозначим, BC=t . Тогда

AB== = 3t.

Треугольник ANM подобен треугольнику ABC с коэффициентом, равным квадратному корню из отношения площадей, т.е. , значит, MN = . Из прямоугольного треугольника ANM находим, что

AN = = 3MN=, AM= = = 2t,

поэтому MB=AB-AM=3t-2t=t . Следовательно,

==2.

2:1.