Олимпиадная задача по планиметрии: равносторонний треугольник APQ и точки квадрата

  Прямая PE – серединный перпендикуляр к отрезку AQ, поэтому  EA = EQ,  значит, треугольники AQE и PQF – равнобедренные. Из равенства прямоугольных треугольников ADQ и ABP по катету и гипотенузе следует равенство углов DAQ и BAP, значит, каждый из этих углов равен 15°, то есть углы при основаниях равнобедренных треугольников AQE и PQF равны по 15°.

  ТочкиAиCравноудалены от концов отрезкаPQ, значит, прямаяAC– серединный перпендикуляр к отрезкуPQ, а так как  FP =FQ,  то точка F лежит наAC.   ТреугольникCPQ– прямоугольный и равнобедренный, поэтому  ∠CPQ= ∠CQP= 45°,  ∠CPF= 30°,  ∠CFP= 180° – 45° – 30° = 105°,  ∠CQF= 30°, ∠DEQ= 30°,  ∠DQE= 60°,  ∠EQF= 180° – 30° – 60° = 90°,  а так как  QF = QE,  то треугольникEQF– также прямоугольный и равнобедренный.   Опустив перпендикулярFKнаCD, получим равнобедренный прямоугольный треугольникCKF, подобный треугольникуFQEс коэффициентом FK:FQ= 1 : 2.  Следовательно,  FE= 2FC.

Ответ задачи отсутствует