Олимпиадная задача по планиметрии: радиус вписанной окружности в равнобедренном треугольнике ABC
Задача
Расстояние между параллельными прямыми равно 24. На одной из них лежит точка C , на другой — точки A и B , причём треугольник ABC — равнобедренный и остроугольный, а его боковая сторона равна 25. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC .
Решение
Заметим, что либо AC=BC , либо AC=AB . Рассмотрим первый из этих случаев (рис.1): AC=BC=25. Пусть H — точка касания вписанной окружности треугольника ABC с основанием AB , r1— радиус окружности, вписанной в треугольник ABC . Тогда CH — высота и медиана треугольника ABC . Из прямоугольного треугольника AHC находим, что
AH=
= 
=
=7.
SΔ ABC=AH· CH=7· 24=168,
SΔ ABC=
(AB+BC+AC)r1=
(14+25+25)r1=32r1.
.
Рассмотрим второй случай (рис.2): AB=AC=25. Пусть CH — высота треугольника ABC , а радиус окружности, вписанной в треугольник ABC , равен r2. Тогда AH=7, BH=AB-AH=25-7=18(треугольник ABC — остроугольный). Из прямоугольного треугольника BCH находим, что
BC=
= 
=
6
=6· 5 = 30,
SΔ ABC=AB· CH =
· 25· 24=300,
SΔ ABC=(AB+AC+BC)· r2=
40r2.
.
Ответ
или .
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь