Олимпиадная задача по планиметрии: радиусы окружностей треугольника 13, 13, 10

Пусть стороны AB , AC и BC треугольника ABC равны 13, 13 и 10 соответственно, AH — высота треугольника, R и r — радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей, r_a , r_b и r_c — радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон BC , AC и AB — соответственно. Поскольку треугольник равнобедренный, точка H — середина основания BC (рис.1). Из прямоугольного треугольника ABH находим, что

AH===12, sin ABC = sin ABH== .

По теореме синусов

R=== .

Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC (рис.2). Тогда BO — биссектриса треугольника ABH , поэтому

==, ==.

Следовательно,

r=OH=AH=· 12=.

Пусть O_a — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC и продолжения сторон AC и AB , причём продолжения стороны AB — в точке M (рис.3). Тогда

BM=BH = 5, AM=AB+BM=AB+BH=13+5=18.

Из прямоугольного треугольника AMO_a находим, что

r_a=O_aM=AM tg MAH = AM· = 18· =.

Пусть O_c — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AB и продолжений сторон BC и AC в точках K и L соответственно (рис.4). Тогда AO_c — биссектриса угла BAL , а т.к. AH — биссектриса смежного с ним угла BAC , то HAO_c=90^o . Четырёхугольник AO_cKH — прямоугольник ( HAO_c= AHK = HKO_c= 90^o ), поэтому

r_c=O_cK =AH = 12.

Аналогично найдём, что r_b=AH=12.

, , , 12, 12.