Олимпиадная задача по планиметрии: высота треугольника с известными сторонами

Пусть стороны AC , AB и BC треугольника ABC равны 10, 17 и 21 соответственно, AH — высота опущенная на сторону BC .

Поскольку BC — наибольшая сторона треугольника, основание H высоты, опущенной на эту сторону, лежит на отрезке BC . Обозначим CH=x . Тогда BH=BC-CH=21-x . Выражая по теореме Пифагора из прямоугольных треугольников ACH и ABH квадрат общего катета AH , получим уравнение 102-x2=172-(21-x)2,

из которого найдём, что x=6. Следовательно,

AH====8.

Пусть p — полупериметр треугольника ABC , p==24. По формуле Герона

S_{Δ ABC}== =

==3· 7· 4=84.

С другой стороны

S_{Δ ABC}=BC· AH= · 21· AH=AH.

Из равенства AH=84находим, что AH=8.

По теореме косинусов

cos ACB== =.

Тогда sin ACB = . Из прямоугольного треугольника ACH находим, что

AH=AC sin ACB = 10· =8.