Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Подобные прямоугольные треугольники ABC и A'B'A с прямыми углами при вершинах B и B' расположены на плоскости так, что точка A' лежит на луче BC за точкой C . Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника A'AC , лежит на прямой A'B' .
AB — хорда окружности, делящая её на два сегмента. M и N середины дуг, на которые делят окружность точки A и B . При повороте вокруг точки A на некоторый угол точка B переходит в точку B' , а точка M — в точку M' . Докажите, что отрезки, соединяющие середину отрезка BB' с точками M' и N , перпендикулярны.
В выпуклом четырёхугольнике ABCD равны углы при вершинах A и B . Известно также, что BC=1и AD=3. Докажите, что CD>2.
На сторонах треугольника ABC внешним образом построены подобные треугольники: Δ A'BC Δ B'CA Δ C'AB . Докажите, что в треугольниках ABC и A'B'C' точки пересечения медиан совпадают.
На стороне BC остроугольного треугольника ABC постройте такую точку M , что прямая, проходящая через основания перпендикуляров, опущенных из M на прямые AB и AC , параллельна BC .
Докажите, что если перпендикуляры, восставленные из оснований биссектрис соответствующим сторонам треугольника, пересекаются в одной точке, то треугольник равнобедренный.
Дан правильный треугольник ABC и произвольная точка D. Точки A1, B1 и C1 – центры окружностей, вписанных в треугольники BCD, CAD и ABD соответственно. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин A, B и C на прямые соответственно B1C1, A1C1 и A1B1, пересекаются в одной точке.
Докажите, что если перпендикуляры, опущенные из точек A1, B1 и C1 на прямые BC, AC и AB соответственно, пересекаются в одной точке, то и перпендикуляры, опущенные из точек A, B и C на прямые соответственно B1C1, A1C1 и A1B1, также пересекаются в одной точке.
Вневписанные окружности треугольника ABC касаются сторон BC, AC и AB в точках A1, B1 и C1 соответственно. Докажите, что перпендикуляры, восставленные к этим сторонам в точках соответственно A1, B1 и C1, пересекаются в одной точке.
Дан треугольник ABC. Из точек A1, B1 и C1, лежащих на прямых BC, AC и AB соответственно, восставлены перпендикуляры к этим прямым. Докажите, что эти перпендикуляры пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда C1A² – C1B² + A1B² – A1C² + B1C² – B1A² = 0.
Внутри треугольника ABC расположена окружность, которая касается его сторон AB и BC , а также проходит через точку P — центр вписанной окружности треугольника ABC . Через точки A , P и C проведена другая окружность. Докажите, что эти окружности касаются друг друга.
В окружность вписан четырёхугольник ABCD . Прямые AB и CD пересекаются в точке M , а прямые BC и AD — в точке N . Известно, что BM=DN . Докажите, что CM=CN .
В треугольнике ABC угол при вершине B вдвое больше угла при вершине C . Окружность с центром в точке A и радиусом AB пересекает серединный перпендикуляр к отрезку BC в точке P (внутри треугольника). Докажите, что угол PAC в три раза меньше угла BAC .
Из точки T провели касательную TA и секущую, пересекающую окружность в точках B и C . Биссектриса угла ATC пересекает хорды AB и AC в точках P и Q соответственно. Докажите, что PA= .
На окружности, касающейся сторон угла с вершиной O , выбраны две диаметрально противоположные точки A и B (отличные от точек касания). Касательная к окружности в точке B пересекает стороны угла в точках C и D , а прямую OA — в точке E . Докажите, что BC=DE .
На сторонах AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD даны точки E и H соответственно. Докажите, что если треугольники ABH и CDE равновелики и AE:BE=DH:CH , то прямая BC параллельна прямой AD .
Докажите, что разность квадратов соседних сторон параллелограмма меньше произведения его диагоналей.
Отрезки AA1, BB1 и CC1 – высоты треугольника ABC. Найдите углы этого треугольника, если известно, что он подобен треугольнику A1B1C1.
В трапеции одна из диагоналей равна сумме оснований, а угол между диагоналями равен60o . Докажите, что трапеция — равнобедренная.
На плоскости дан квадрат ABCD . Найдите минимум частного , где O — произвольная точка плоскости.
На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки D и F соответственно, E — середина отрезка DF . Докажите, что AD+FC AE+EC .
Отношение радиусов окружностей S1и S2, касающихся в точке B , равно k ( k>1). Из точки A , лежащей на окружности S1, проведена прямая, касающаяся окружности S2в точке C . Найдите AC , если известно, что хорда, высекаемая окружностью S2на прямой AB , равна b .
Центр окружности, вписанной в четырёхугольник, лежит на его диагонали, равной 5. Известно, что периметр четырёхугольника равен 14, а площадь равна 12. Найдите вторую диагональ и стороны четырёхугольника.
Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M . Пусть P и Q — центры окружностей, описанных вокруг треугольников ABM и CDM . Докажите, что AB+CD < 4PQ
На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны соответственно точки X и Y так, что ∠AXY = 2∠C, ∠CYX = 2∠A. Докажите неравенство