Олимпиадная задача по планиметрии: Построение точки в треугольнике ABC для 8–9 классов

Пусть перпендикуляры к сторонам AB и AC , восставленные из точек соответственно B и C , пересекаются в точке P , а луч AP пересекает сторону BC в точке M . Докажем, что точка M — искомая. Рассмотрим гомотетию с центром A , при которой точка P переходит в M . При этой гомотетии точки B и C переходят в некоторые точки K и L , лежащие на лучах AB и AC соответственно, а перпендикуляры PB и PC к сторонам AB и AC — в перпендикуляры MK и ML к этим сторонам, а т.к. прямая, не проходящая через центр гомотетии, переходит в параллельную ей прямую, то KL || BC . Что и требовалось доказать.