Олимпиадная задача по планиметрии: доказательство равенства BC=DE для 8-9 класса
На окружности, касающейся сторон угла с вершиной O , выбраны две диаметрально противоположные точки A и B (отличные от точек касания). Касательная к окружности в точке B пересекает стороны угла в точках C и D , а прямую OA — в точке E . Докажите, что BC=DE .
Разобрать решение
Предположим, что указанная окружность вписана в треугольник OCD и касается со стороной OC в точке M (рис.1). Рассмотрим гомотетию с центром O , при которой вписанная окружность треугольника OCD переходит во вневписанную окружность этого треугольника. При этой гомотетии касательная в точке A к первой окружности переходит в параллельную ей касательную ко второй, т.е. в прямую CD , а точка A — в точку касания прямой CD со вневписанной окружостью треугольника OCD , т.е. в точку E . Пусть при этой гомотетии точка M переходит в точку M' . Обозначим через p полупериметр треугольника OCD . Тогда
CE=CM'=OM'-OC=p-OC=BD.
Следовательно, BC=DE . Что и требовалось доказать. Аналогично для случая, когда указанная окружность — это вневписанная окружность треугольника OCD (рис.2).
Обсуждение
0Комментариев пока нет.