Олимпиадная задача о минимуме частного на плоскости для квадрата ABCD.

Известно, что для любого прямоугольника ABCD и любой точки O в плоскости этого прямоугольника OA2+OC2=OB2+OD2. Докажем, что , или (OA+OC) OB+OD . Действительно,

(OA+OC) OB+OD ((OA+OC))2 (OB+OD)2

2(OA2+2OA· OC+OC2) OB2+2OB· OD+OD2

OB2+4OA· OC+OC22OB· OD.

Последнее неравенство очевидно, т.к. OB2+OC2 2OB· OD . Если точка O совпадает с вершиной A , получим, что AC = 2AB , или

= = = ,

поэтому значение достигается. Следовательно, минимальное значение дроби равно .