Олимпиадная задача по планиметрии: биссектриса и касательная к окружности (8-9 класс)
Из точки T провели касательную TA и секущую,
пересекающую окружность в точках B и C .
Биссектриса угла ATC пересекает хорды AB и AC в точках P и Q соответственно. Докажите,
что PA=
.
Разобрать решение
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует,
что 
BAT = ACB = ACT . По теореме о
внешнем угле треугольника
AQP = AQT = ACT + CTQ,
APQ = PAT + ATP= BAT+ ATP=
ACT + CTQ,
значит, APQ = AQP , поэтому треугольник APQ —
равнобедренный, AP=AQ .
По свойству биссектрисы треугольника
=
,
=
.
Перемножив эти равенства, получим, что
=
=
=1,
т.к. TA2=TB· TC по теореме о касательной и секущей.
При этом AP=AQ , значит, 
=1,
следовательно, AP= .
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.