Назад

Олимпиадная задача по планиметрии: биссектриса и касательная к окружности (8-9 класс)

Задача 215726 • Сложность: 3 • 8-9 класс
Нет ответа
Задача

Из точки T провели касательную TA и секущую, пересекающую окружность в точках B и C . Биссектриса угла ATC пересекает хорды AB и AC в точках P и Q соответственно. Докажите, что PA= .

Разделы:
Планиметрия
Источники:
Система задач по геометрии Р.К.Гордина (zadachi.mccme.ru) Интернет-ресурсы
Количество версий:
4
Решение

Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что BAT = ACB = ACT . По теореме о внешнем угле треугольника

AQP = AQT = ACT + CTQ,

APQ = PAT + ATP= BAT+ ATP= ACT + CTQ,

значит, APQ = AQP , поэтому треугольник APQ — равнобедренный, AP=AQ . По свойству биссектрисы треугольника

=, =.

Перемножив эти равенства, получим, что

== =1,

т.к. TA2=TB· TC по теореме о касательной и секущей. При этом AP=AQ , значит, =1, следовательно, AP= .

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет