Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 классов: перпендикулярность отрезков в окружности
AB — хорда окружности, делящая её на два сегмента. M и N середины дуг, на которые делят окружность точки A и B . При повороте вокруг точки A на некоторый угол точка B переходит в точку B' , а точка M — в точку M' . Докажите, что отрезки, соединяющие середину отрезка BB' с точками M' и N , перпендикулярны.
Разобрать решение
Обозначим
ABB'= AB'B = AMM'= AM'M=
α,
BAN= ABN = AMN = β.
Пусть прямые BB' и MM' пересекаются в точке N' . Тогда
AMN' = 180o- AMM'=180o-α=
180o- ABN',
значит, четырёхугольник AMN'B вписанный, поэтому точка N' лежит на данной окружности. При этом MN — диаметр окружности,
значит, NN'M = 90o .
Пусть R — радиус окружности. Тогда
MN=2R, BN=2R sin β, AM=2R cos β,
AB=2R sin (180o-2β)=2R sin 2β = 4R sin β cos β,
а т.к. равнобедренные треугольники AMM' и ABB' подобны, то
= 
=
=
=
,
поэтому
=2· =
=
.
Кроме того,
M'MN= AMM'+ NMA=α +β,
DBN = DBA+ NBA = α + β,
значит, треугольники M'MN и DBN подобны, поэтому NM'N'= NM'M = BDN . Тогда
четырёхугольник DNM'N' — вписанный, а т.к. NN'M'= NN'M= 90o , то NM' —
диаметр описанной окружности этого четырёхугольника.
Следовательно, NDM'=90o . Что и
требовалось доказать.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.