Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 классов: перпендикулярность отрезков в окружности

Обозначим

ABB'= AB'B = AMM'= AM'M= α,

BAN= ABN = AMN = β.

Пусть прямые BB' и MM' пересекаются в точке N' . Тогда

AMN' = 180^o- AMM'=180^o-α= 180^o- ABN',

значит, четырёхугольник AMN'B вписанный, поэтому точка N' лежит на данной окружности. При этом MN — диаметр окружности, значит, NN'M = 90^o . Пусть R — радиус окружности. Тогда

MN=2R, BN=2R sin β, AM=2R cos β,

AB=2R sin (180^o-2β)=2R sin 2β = 4R sin β cos β,

а т.к. равнобедренные треугольники AMM' и ABB' подобны, то

= == =,

поэтому

=2· == .

Кроме того,

M'MN= AMM'+ NMA=α +β, DBN = DBA+ NBA = α + β,

значит, треугольники M'MN и DBN подобны, поэтому NM'N'= NM'M = BDN . Тогда четырёхугольник DNM'N' — вписанный, а т.к. NN'M'= NN'M= 90^o , то NM' — диаметр описанной окружности этого четырёхугольника. Следовательно, NDM'=90^o . Что и требовалось доказать.

Ответ задачи отсутствует