Олимпиадная задача по планиметрии: совпадение точек пересечения медиан в треугольниках
На сторонах треугольника ABC внешним образом
построены подобные треугольники: Δ A'BC 
Δ B'CA Δ C'AB . Докажите, что в
треугольниках ABC и A'B'C' точки пересечения
медиан совпадают.
Разобрать решение
Пусть P — поворотная гомотетия, переводящая
вектор 
в вектор 
,
т.е. P()= .
Из равенства соответствующих углов и пропорциональности
соответствующих сторон подобных треугольников следует, что
P(
)=
,
P(
)=
,
поэтому
+
+
=
(+)+
(+)+
(+)=
=+P()+
+P()+
+P() =
=(++)+
(P()+P()+
P())=
+=.
Пусть M и M' — точки пересечения медиан треугольников ABC и A'B'C' соответственно. Тогда
=
(+
+)=
· =.
Следовательно, точки M и M' совпадают.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.