Интересная олимпиадная задача по математике для 8-9 классов: углы в треугольнике ABC
В треугольнике ABC угол при вершине B вдвое больше угла при вершине C . Окружность с центром в точке A и радиусом AB пересекает серединный перпендикуляр к отрезку BC в точке P (внутри треугольника). Докажите, что угол PAC в три раза меньше угла BAC .
Разобрать решение
Обозначим 
ACB=α . Тогда ABC = 2α .
От луча CA в полуплоскости, не содержащей точку B ,
отложим луч, под углом α к CA . Пусть этот луч
пересекает серединный перпендикуляр к стороне BC в точке D .
Тогда треугольник BCD — равнобедренный, поэтому CBD = BCD = 2α = ABC , значит,
точка A лежит на стороне BD .
Пусть BE — биссектриса треугольника BCD .
Треугольник BAE — равнобедренный, т.к. AE || BC и AEB = CBE = ABE=α , поэтому AE=AB .
Значит, точка E лежит на окружности с центром A и радиусом AB .
Треугольник BDC симметричен относительно прямой DP , поэтому
PAC= PEB =
PAB
(вписанный угол равен половине соответствующего центрального
угла).
Следовательно, PAC = 
BAC .
Обсуждение
0Комментариев пока нет.