Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»

Докажите, что при инверсии окружность, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, также не проходящую через центр инверсии.

Докажите, что при инверсии окружность, проходящая через центр инверсии, переходит в прямую, не проходящую через центр инверсии.

Докажите, что при инверсии прямая, проходящая через центр инверсии, переходит сама в себя, а прямая, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через центр инверсии.

Пусть при инверсии относительно окружности с центром<i> O </i>точка<i> A </i>переходит в точку<i> A' </i>, а точка<i> B </i>— в<i> B' </i>. Докажите, что треугольники<i> AOB </i>и<i> B'OA' </i>подобны.

На медиане <i>AM</i> треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>K</i>, причём  <i>AK</i> : <i>KM</i> = 1 : 3.

Найдите отношение, в котором прямая, проходящая через точку <i>K</i> параллельно стороне <i>AC</i>, делит сторону <i>BC</i>.

В прямоугольном треугольнике синус меньшего угла равен<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115930/problem_115930_img_2.gif"> </i>. Перпендикулярно гипотенузе проведена прямая, разбивающая треугольник на две равновеликие части. В каком отношении эта прямая делит гипотенузу?

Найдите радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 13, 14, 15.

Найдите радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 13, 13, 10.

Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна<i> a </i>, средняя линия трапеции равна<i> b </i>, а острый угол при основании равен45<i>^o </i>. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.

Равносторонний треугольник<i> ABC </i>со стороной 3 вписан в окружность. Точка<i> D </i>лежит на окружности, причём хорда<i> AD </i>равна<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115926/problem_115926_img_2.gif"> </i>. Найдите хорды<i> BD </i>и<i> CD </i>.

В треугольнике <i>ABC</i> известно, что  <i>AB = c,  BC = a</i>,  ∠<i>B</i> = 120°.  Найдите расстояние между основаниями высот, проведённых из вершин <i>A</i> и <i>C</i>.

Сторона треугольника равна  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115924/problem_115924_img_2.gif"> ,   углы, прилежащие к ней, равны 75° и 60°.

Найдите отрезок, соединяющий основания высот, проведённых из вершин этих углов.

Точка<i> M </i>находится внутри диаметра<i> AB </i>окружности и отлична от центра окружности. По одну сторону от этого диаметра на окружности взяты произвольные различные точки<i> P </i>и<i> Q </i>, причём отрезки<i> PM </i>и<i> QM </i>образуют равные углы с диаметром. Докажите, что все прямые<i> PQ </i>проходят через одну точку.

Точка<i> M </i>— середина стороны<i> BC </i>выпуклого четырёхугольника<i> ABCD </i>. Известно, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115922/problem_115922_img_2.gif"> AMD = </i>120<i>^o </i>. Докажите неравенство<i> AB+<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115922/problem_115922_img_3.gif">BC+CD>AD </i>.

Точка <i>M</i> взята на стороне <i>AC</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i>, а на продолжении стороны <i>BC</i> за точку <i>C</i> отмечена точка <i>N</i>, причём  <i>BM = MN</i>.

Докажите, что  <i>AM = CN</i>.

Внутри стороны <i>BC</i> правильного треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>D</i>. Прямая, проходящая через точку <i>C</i> и параллельная <i>AD</i>, пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>E</i>. Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115920/problem_115920_img_2.gif">

В остроугольном неравнобедренном треугольнике<i> ABC </i>проведены высоты<i> AD </i>,<i> BE </i>и<i> CF </i>. Точки<i> X </i>,<i> Y </i>и<i> Z </i>таковы, что<i> D </i>,<i> E </i>и<i> F </i>являются серединами отрезков<i> BX </i>,<i> CY </i>и<i> AZ </i>соответственно. Докажите, что центры окружностей, описанных около треугольников<i> ACX </i>,<i> ABY </i>и<i> BCZ </i>, являются вершинами треугольника, равного треугольнику<i> ABC </i>.

Окружность, вписанная в угол с вершиной <i>O</i>, касается его сторон в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Луч <i>OX</i> пересекает эту окружность в точках <i>C</i> и <i>D</i>, причём <i>OC = CD</i> = 1.  Если <i>M</i> – точка пересечения луча <i>OX</i> и отрезка <i>AB</i>, то чему равна длина отрезка <i>OM</i>?

Точка<i> D </i>, отличная от вершин<i> A </i>и<i> B </i>треугольника<i> ABC </i>, лежит на стороне<i> AB </i>, причём<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115917/problem_115917_img_2.gif">= <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115917/problem_115917_img_3.gif"> </i>. Докажите, что угол<i> ACB </i>— тупой.

Подобные прямоугольные треугольники<i> ABC </i>и<i> A'B'A </i>с прямыми углами при вершинах<i> B </i>и<i> B' </i>расположены на плоскости так, что точка<i> A' </i>лежит на луче<i> BC </i>за точкой<i> C </i>. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника<i> A'AC </i>, лежит на прямой<i> A'B' </i>.

<i> AB </i>— хорда окружности, делящая её на два сегмента.<i> M </i>и<i> N </i>середины дуг, на которые делят окружность точки<i> A </i>и<i> B </i>. При повороте вокруг точки<i> A </i>на некоторый угол точка<i> B </i>переходит в точку<i> B' </i>, а точка<i> M </i>— в точку<i> M' </i>. Докажите, что отрезки, соединяющие середину отрезка<i> BB' </i>с точками<i> M' </i>и<i> N </i>, перпендикулярны.

В выпуклом четырёхугольнике<i> ABCD </i>равны углы при вершинах<i> A </i>и<i> B </i>. Известно также, что<i> BC=</i>1и<i> AD=</i>3. Докажите, что<i> CD></i>2.

Внутри квадрата <i>ABCD</i> взята точка <i>E</i>. Пусть <i>ET</i> – высота треугольника <i>ABE, K</i> – точка пересечения прямых <i>DT</i> и <i>AE, M</i> – точка пересечения прямых <i>CT</i> и <i>BE</i>. Докажите, что отрезок <i>KM</i> – сторона квадрата, вписанного в треугольник <i>ABE</i>.

На сторонах треугольника<i> ABC </i>внешним образом построены подобные треугольники:<i> Δ A'BC <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115912/problem_115912_img_2.gif"> Δ B'CA <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115912/problem_115912_img_2.gif"> Δ C'AB </i>. Докажите, что в треугольниках<i> ABC </i>и<i> A'B'C' </i>точки пересечения медиан совпадают.

В трапеции <i>ABCD</i> боковая сторона <i>AB</i> перпендикулярна основаниям <i>AD</i> и <i>BC</i>, диагонали трапеции пересекаются в точке <i>E, F</i> – основание перпендикуляра, опущенного из точки <i>E</i> на сторону <i>AB</i>. Известно, что  ∠<i>DFE</i> = α.  Найдите ∠<i>CFE</i>.