Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: прямая PQ и точка пересечения

Продолжим отрезок QM за точку M до пересечения с окруэностью в точке P' . Тогда AMP'= QMB = AMP , значит, при симметрии относительно диаметра AB , луч MP переходит в луч MP' , а т.к. окружность симметрична относительно любого своего диаметра, то точка P при этом переходит в P' . Пусть O — центр окружности, R — её радиус. Угол PMQ — внешний угол равнобедренного треугольника PMP' , поэтому

POQ = 2 PP'Q = 2· PMQ = PMQ,

значит, из точек O и M , лежащих по одну сторону от прямой PQ , отрезок PQ виден под одним и тем же углом. Следовательно, точки P , Q , M и O лежат на одной окружности. Пусть прямые PQ и AB пересекаются в точке K . Тогда

KO2-R2=(KO-R)(KO+R)=(KO-OB)(KO+OA)=KB· KA = KQ· KP=KM· KO,

поэтому

KO· OM= KO· (KO-KM)=KO2-KM· KO =R2.

Таким образом, точка K не зависит от выбора точек P и Q . Отсюда следует утверждение задачи.

Ответ задачи отсутствует