Олимпиадная задача по планиметрии: луч, касательная и вписанная окружность (8-9 класс)
Задача
Окружность, вписанная в угол с вершиной O, касается его сторон в точках A и B. Луч OX пересекает эту окружность в точках C и D, причём OC = CD = 1. Если M – точка пересечения луча OX и отрезка AB, то чему равна длина отрезка OM?
Решение
Первый способ. Из теоремы об угле между касательной хордой следует, что ∠OBC = ∠BDO, значит,
треугольники OBC и ODB подобны по двум углам, поэтому OB : OD = OC : OB, откуда OB² = OC·OD = 2, BC : BD = OB : OD = 
: 2.
Аналогично AC : AD = : 2.
Треугольники CMB и AMD подобны по двум углам, поэтому CM : AM = BC : AD. Аналогично AM : MD = AC : BD.
Перемножая два последние равенства, получим, что 
значит, CM = ⅓. Следовательно,
OM = 4/3. Второй способ. По теореме о касательной и секущей OB² = OC·OD = 2.
Пусть P – проекция центра Q окружности на хорду CD, N – точка пересечения OQ и AB. Прямоугольные треугольники ONM и OPQ подобны, поэтому
OM : OQ = ON : OP. Отрезок BN – высота прямоугольного треугольника OBQ, опущенная на гипотенузу, поэтому OB² = OQ·ON, следовательно, 
Ответ
4/3.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь