Олимпиадная задача по планиметрии: центры окружностей в треугольнике ABC для 8-9 классов

Пусть Z' — точка, симметричная точке Z относительно прямой BC (рис.1). Тогда

CZ'B= CZB = CZA = CAZ = CAB

(треугольник ACZ равнобедренный, т.к. его высота CF является медианой). Из точек Z' и A , лежащих по одну сторону от прямой BC , отрезок BC виден под одним и тем же углом, значит, точки A , B , C и Z' лежат на одной окружности — окружности, описанной около треугольника ABC . Поэтому при симметрии относительно прямой BC окружность, описанная около треугольника BCZ , переходит в окружность, описанную около треугольника ABC , а значит, центр первой из этих окружностей переходит в центр второй. Аналогично для центров остальных окружностей, о которых говорится в условии. Таким образом, центры O1, O2и O3окружностей, описанных около треугольников ACX , ABY и BCZ , симметричны центру O описанной окружности треугольника ABC относительно его сторон. Заметим, что и треугольник ABC , и треугольник O1O2O3(рис.2) подобны с коэффициентом 2 треугольнику с вершинами в серединах сторон треугольника ABC . Отсюда следует утверждение задачи.

Ответ задачи отсутствует