Задача № 215935
Докажите, что при инверсии окружность, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, также не проходящую через центр инверсии.
Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 215934
Докажите, что при инверсии окружность, проходящая через центр инверсии, переходит в прямую, не проходящую через центр инверсии.
Задача № 215933
Докажите, что при инверсии прямая, проходящая через центр инверсии, переходит сама в себя, а прямая, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через центр инверсии.
Задача № 215932
Пусть при инверсии относительно окружности с центром O точка A переходит в точку A' , а точка B — в B' . Докажите, что треугольники AOB и B'OA' подобны.
Задача № 215931
На медиане AM треугольника ABC взята точка K, причём AK : KM = 1 : 3. Найдите отношение, в котором прямая, проходящая через точку K параллельно стороне AC, делит сторону BC.
Задача № 215930
В прямоугольном треугольнике синус меньшего угла равен . Перпендикулярно гипотенузе проведена прямая, разбивающая треугольник на две равновеликие части. В каком отношении эта прямая делит гипотенузу?
Задача № 215929
Найдите радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 13, 14, 15.
Задача № 215928
Найдите радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 13, 13, 10.
Задача № 215927
Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна a , средняя линия трапеции равна b , а острый угол при основании равен45o . Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.
Задача № 215926
Равносторонний треугольник ABC со стороной 3 вписан в окружность. Точка D лежит на окружности, причём хорда AD равна . Найдите хорды BD и CD .
Задача № 215925
В треугольнике ABC известно, что AB = c, BC = a, ∠B = 120°. Найдите расстояние между основаниями высот, проведённых из вершин A и C.
Задача № 215924
Сторона треугольника равна , углы, прилежащие к ней, равны 75° и 60°. Найдите отрезок, соединяющий основания высот, проведённых из вершин этих углов.
Задача № 215923
Точка M находится внутри диаметра AB окружности и отлична от центра окружности. По одну сторону от этого диаметра на окружности взяты произвольные различные точки P и Q , причём отрезки PM и QM образуют равные углы с диаметром. Докажите, что все прямые PQ проходят через одну точку.
Задача № 215922
Точка M — середина стороны BC выпуклого четырёхугольника ABCD . Известно, что AMD = 120o . Докажите неравенство AB+BC+CD>AD .
Задача № 215921
Точка M взята на стороне AC равностороннего треугольника ABC, а на продолжении стороны BC за точку C отмечена точка N, причём BM = MN. Докажите, что AM = CN.
Задача № 215920
Внутри стороны BC правильного треугольника ABC взята точка D. Прямая, проходящая через точку C и параллельная AD, пересекает прямую AB в точке E. Докажите, что
Задача № 215919
В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены высоты AD , BE и CF . Точки X , Y и Z таковы, что D , E и F являются серединами отрезков BX , CY и AZ соответственно. Докажите, что центры окружностей, описанных около треугольников ACX , ABY и BCZ , являются вершинами треугольника, равного треугольнику ABC .
Задача № 215918
Окружность, вписанная в угол с вершиной O, касается его сторон в точках A и B. Луч OX пересекает эту окружность в точках C и D, причём OC = CD = 1. Если M – точка пересечения луча OX и отрезка AB, то чему равна длина отрезка OM?
Задача № 215917
Точка D , отличная от вершин A и B треугольника ABC , лежит на стороне AB , причём = . Докажите, что угол ACB — тупой.
Задача № 215916
Подобные прямоугольные треугольники ABC и A'B'A с прямыми углами при вершинах B и B' расположены на плоскости так, что точка A' лежит на луче BC за точкой C . Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника A'AC , лежит на прямой A'B' .
Задача № 215915
AB — хорда окружности, делящая её на два сегмента. M и N середины дуг, на которые делят окружность точки A и B . При повороте вокруг точки A на некоторый угол точка B переходит в точку B' , а точка M — в точку M' . Докажите, что отрезки, соединяющие середину отрезка BB' с точками M' и N , перпендикулярны.
Задача № 215914
В выпуклом четырёхугольнике ABCD равны углы при вершинах A и B . Известно также, что BC=1и AD=3. Докажите, что CD>2.
Задача № 215913
Внутри квадрата ABCD взята точка E. Пусть ET – высота треугольника ABE, K – точка пересечения прямых DT и AE, M – точка пересечения прямых CT и BE. Докажите, что отрезок KM – сторона квадрата, вписанного в треугольник ABE.
Задача № 215912
На сторонах треугольника ABC внешним образом построены подобные треугольники: Δ A'BC Δ B'CA Δ C'AB . Докажите, что в треугольниках ABC и A'B'C' точки пересечения медиан совпадают.
Задача № 215911
В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основаниям AD и BC, диагонали трапеции пересекаются в точке E, F – основание перпендикуляра, опущенного из точки E на сторону AB. Известно, что ∠DFE = α. Найдите ∠CFE.
151–175 из 7538