Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Дан треугольник ABC . На его стороне AB выбирается точка P и через неё проводятся прямые PM и PN , параллельные AC и BC соответственно (точки M и N лежат на сторонах BC и AC ); Q — точка пересечения описанных окружностей треугольников APN и BPM , отличная от P . Докажите, что все прямые PQ проходят через фиксированную точку.
Четыре окружности попарно касаются внешним образом (в шести различных точках). Пусть a , b , c , d — их радиусы, a = , b = , g = , d = . Докажите, что 2(a2+b2+g2+d2)= (a+b+g+d)2.
В треугольнике ABC заданы длины двух сторон: AB = 6, BC = 16. Кроме того, известно, что центр окружности, проведённой через вершину B и середины сторон AB и AC, лежит на биссектрисе угла C. Найдите AC.
Точка M – середина хорды AB. Хорда CD пересекает AB в точке M. На отрезке CD как на диаметре построена полуокружность. Точка E лежит на этой полуокружности, и ME – перпендикуляр к CD. Найдите угол AEB.
В произвольный треугольник вписана окружность. Проведём три касательные к ней, параллельно сторонам треугольника. Докажите, что периметр образовавшегося шестиугольника не превосходит периметра исходного треугольника.
Ромб и равнобокая трапеция описаны около одной и той же окружности и имеют одинаковые площади. Найдите их острые углы.
В трапеции ABCD известно, что AB=BC=CD . Диагонали трапеции пересекаются в точке O . Окружность, описанная около треугольника ABO , пересекает основание AD в точке E . Докажите, что BEDC — ромб.
Точки A1, B1, C1 – середины сторон соответственно BC, AC, AB треугольника ABC. Известно, что A1A и B1B – биссектрисы углов треугольника A1B1C1. Найдите углы треугольника ABC.
В остроугольном треугольнике ABC проведены высота BH и медиана AM. Известно, что угол MCA в два раза больше угла MAC, BC = 10. Найдите AH.
В равнобокой трапеции одно из оснований в три раза больше другого. Угол при большем основании равен45o . Покажите, как разрезать трапецию на три части и сложить из них квадрат. Обоснуйте решение.
На диагонали BD вписанного четырёхугольника ABCD выбрана такая точка K, что ∠AKB = ∠ADC. Пусть I и I' – центры вписанных окружностей треугольников ACD и ABK соответственно. Отрезки II' и BD пересекаются в точке X. Докажите, что точки A, X, I, D лежат на одной окружности.
Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что радиус вписанной окружности равен трети одной из высот треугольника.
Длины сторон треугольника различны и образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна одной из сторон треугольника.
В треугольнике ABC с прямым углом C проведены высота CD, и биссектриса CF, DK и DL – биссектрисы треугольников BDC и ADC. Докажите, что CLFK – квадрат.
Биссектрисы углов A и B треугольника ABC пересекают описанную окружность треугольника в точках A1и B1. Вписанная окружность касается сторон AC и BC в точках A2и B2. Докажите, что A1B1 || A2B2.
Из точки D окружности S опущен перпендикуляр DC на диаметр AB . Окружность S1касается отрезка CA в точке E , а также отрезка CD и окружности S . Докажите, что DE — биссектриса треугольника ADC .
Хорда AB разбивает окружность S на две дуги. Окружность S1касается хорды AB в точке M и одной из дуг в точке N . Докажите, что а) прямая MN проходит через середину P второй дуги; б) длина касательной PQ к окружности S1равна PA .
На трёх отрезках OA, OB и OC одинаковой длины (точка B лежит внутри угла AOC) как на диаметрах построены окружности. Докажите, что площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугами этих окружностей и не содержащего точку O, равна половине площади (обычного) треугольника ABC.
Точки K , L , M и N — середины сторон соответственно AB , BC , CD и AD параллелограмма ABCD площади s . Найдите площадь четырёхугольника, образованного пересечением прямых AL , AM , CK и CN .
Из точки M окружности, описанной около прямоугольника ABCD, опустили перпендикуляры MQ и MP на две его противоположные стороны и перпендикуляры MR и MT на продолжения двух других сторон. Докажите, что прямые PR и QT перпендикулярны, а точка их пересечения принадлежит диагонали прямоугольника ABCD.
На сторонах произвольного остроугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности. При этом образуется три "внешних" криволинейных треугольника и один "внутренний" (см. рис.1). Докажите, что если из суммы площадей "внешних" треугольников вычесть площадь "внутреннего", то получится удвоенная площадь треугольника ABC .
Пусть Oa, Ob и Oc – центры описанных окружностей треугольников PBC, PCA и PAB. Докажите, что если точки Oa и Ob лежат на прямых PA и PB, то точка Oc лежит на прямой PC.
Пусть a – длина стороны правильного пятиугольника, d – длина его диагонали. Докажите, что d² = a² + ad.
Диагонали AC и BE правильного пятиугольника ABCDE пересекаются в точке K . Докажите, что описанная окружность треугольника CKE касается прямой BC .
В равностороннем (неправильном) пятиугольнике ABCDE угол ABC вдвое больше угла DBE. Найдите величину угла ABC.