Олимпиадная задача по планиметрии: трапеция с равными сторонами, ромб BEDC, 8–9 класс

Диагонали равнобедренной трапеции образуют равные углы с основанием, поэтому

BDC = DBC = BCA= CAD,

а т.к. вписанные в окружность углы OAE и OBE опираются на одну и ту же дугу, то

CAD = OAE = OBE= DBE.

Таким образом, BDC = DBE , следовательно, BE || CD . Тогда четырёхугольник BEDC — параллелограмм с равными соседними сторонами. Следовательно, BEDC — ромб. Из равенства BC=CD и свойств равнобедренной трапеции следует, что

CBO = CBD = CAB = OAB.

Тогда по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой, BC — касательная к окружности, описанной около треугольника AOB . Хорда AE параллельна этой касательной, значит, треугольник ABE — равнобедренный, поэтому BE=AB=BC и BEA = BAE = CDA . Следовательно, BE || CD . Тогда четырёхугольник BEDC — параллелограмм с равными соседними сторонами, т.е. ромб.