Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: углы треугольника ABC

  Как известно,  A₁B₁ || AB  и  A₁C₁ || AC.   Первый способ. По свойству параллельных прямых   ∠BAA₁ = ∠AA₁B₁ = ∠AA₁C₁ = ∠A₁AC,  значит, медиана AA₁ треугольника ABC является его биссектрисой, поэтому  AB = AC.  Аналогично  AB = BC.  Следовательно, треугольник ABC – равносторонний.   Второй способ. Четырёхугольник AB₁A₁C₁ – параллелограмм, в котором диагональ является биссектрисой угла, значит, AB₁A₁C₁ – ромб. Следовательно, A₁B₁ = A₁C₁.  Аналогично  A₁B₁ = B₁C₁.  Таким образом, треугольник A₁B₁C₁ – равносторонний. Следовательно, треугольник ABC – также равносторонний.