Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: площадь криволинейного треугольника

Пусть окружности, построенные как на диаметрах на боковых сторонах OA и OB равнобедренного треугольника AOB, пересекаются в точке C₁. Тогда  ∠AC₁O = ∠BC₁O = 90°,  значит, точка C₁ – середина отрезка AB треугольника ABC. Аналогично, точка A₁ пересечения окружностей с диаметрами OB и OC – середина отрезка BC, а точка B₁ пересечения окружностей с диаметрами OA и OC – середина отрезка AC. Следовательно, четырёхугольник BA₁B₁C₁ – параллелограмм. Сегмент окружности с диаметром OB, отсекаемый хордой BC₁, равен соответствующему сегменту окружности с диаметром  OC = OB,  отсекаемому хордой  A₁B₁ = BC₁.  Аналогично сегмент окружности с диаметром OB, отсекаемый хордой BA₁, равен соответствующему сегменту окружности с диаметром  OA = OB,  отсекаемому хордой  B₁C₁ = BA₁.  Следовательно, криволинейный треугольник, о котором говорится в условии задачи, равновелик параллелограмму BA₁B₁C₁, площадь которого равна половине площади треугольника ABC.