Олимпиадная задача по планиметрии: высота и медиана в остром треугольнике (8-9 класс)

Медиана HM прямоугольного треугольника BHC вдвое меньше гипотенузы BC, то есть  HM = 5.  Пусть  ∠MAC = α.  Тогда

∠MHC = ∠MCH = ∠MCA = 2α.  По теореме о внешнем угле треугольника  ∠AMH = ∠MHC – ∠MAC = 2α – α = α,  значит, треугольник AMH – также равнобедренный. Следовательно,  AH = HM = 5.