Олимпиадная задача по планиметрии: высота и медиана в остром треугольнике (8-9 класс)
Задача
В остроугольном треугольнике ABC проведены высота BH и медиана AM. Известно, что угол MCA в два раза больше угла MAC, BC = 10.
Найдите AH.
Решение
Медиана HM прямоугольного треугольника BHC вдвое меньше гипотенузы BC, то есть HM = 5. Пусть ∠MAC = α. Тогда
∠MHC = ∠MCH = ∠MCA = 2α. По теореме о внешнем угле треугольника ∠AMH = ∠MHC – ∠MAC = 2α – α = α, значит, треугольник AMH – также равнобедренный. Следовательно, AH = HM = 5.
Ответ
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет