Олимпиадная задача по планиметрии: радиусы четырёх касающихся окружностей, 8–9 класс

Пусть A , B , C , D — центры данных окружностей радиусов a , b , c , d соответственно. Тогда

AB=a+b, BC=b+c, AC=a+c, BD=b+d, CD=c+d.

Обозначим BDC= j , ADB = , ADC = m . По теореме косинусов

cos j = = =

=.

Тогда

cos2 = = = ,

sin2 = = .

Аналогично,

sin2 ADB = sin2 =,

sin2 ADC = sin2 =.

Так как j++m = 360^o , то ++ = 180^o . Рассмотрим треугольник с углами j ,, m . Пусть R — радиус описанной окружности этого треугольника. Тогда стороны треугольника равны2R sin ,2R sin ,2R sin . По теореме косинусов

4R2 sin2= 4R2 sin2+ 4R2 sin2- 8R2 sin sin cos ,

sin2

• sin2

• sin2 + 2 sin sin cos =0,

- -+

+2· · =0,

-- + 2=0,

1+-1--1- + 2=0,

-1+-- + 2=0,

Разделив обе части этого равенства на d , получим, что

-+--+ 2=0,

a-b-g-d+2=0, b+g+d - a = 2,

(b+g+d - a)2 = 4(gd+ bd +bg),

(b+g+d)2 - 2a(b+g+d)+a2 =4(gd+bd +bg),

b2+g2+d2 + 2b g +2b d+ 2g d - 2a b - 2a g - 2a d + a2 =4g d+4b d +4b g,

a2+ b2+g2+d2 = 2b g +2b d+ 2g d + 2a b + 2a g + 2a d,

2a2+ 2b2+2g2+2d2 = a2+ b2+g2+d2 + 2bg +2bd+ 2gd + 2ab + 2ag + 2ad,

откуда

2(a2+b2+g2+d2)= (a+b+g+d)2.