Олимпиадная задача по планиметрии: хорда, окружности и касательная для 8-9 классов
Хорда AB разбивает окружность S на две дуги. Окружность S1касается хорды AB в точке M и одной из дуг в точке N . Докажите, что
а) прямая MN проходит через середину P второй дуги;
б) длина касательной PQ к окружности S1равна PA .
Разобрать решение
а) Пусть O и O1— центры окружностей S и S1соответственно. Поскольку OP=ON и O1M = O1N (радиусы одной окружности), треугольники OPN и O1MN — равнобедренные, причём OPN — их общий угол при основаниях. Следовательно, точки N , M и P лежат на одной прямой.
Другой способ. Расмотрим гомотетию с центром в точке N касания окружностей, переводящую окружность S1в окружность S . Касательная AB к окружности S1перейдёт в параллельную ей касательную l к окружности S , касательная, параллельная хорде AB , делит дугу AB пополам. Тогда точка M перейдёт в середину P дуги AB , не содержащей точку N . Следовательно, прямая MN проходит через середину P этой дуги.
б) Продолжим радиус OP окружности S до пересечения с хордой AB в точке K . Тогда K — середина хорды AB . Применив теорему о касательной и секущей, теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд и теорему Пифагора, получим, что
PQ2 = PM· PN = PM(PM+MN)= PM2+PM· MN =
=(PK2+KM2) + AM· MB = (PK2+KM2) + (AK+KM)(BK-KM)=
=(PK2+KM2) + (AK+KM)(AK-KM)= (PK2+KM2) + (AK2-KM2)=
=PK2+AK2 = AP2.
Следовательно, PQ=AP .
Другой способ. Продолжим PO до пересечения с
окружностью S в точке L . Прямоугольные треугольники PKM и PNL подобны, поэтому 
=
, откуда PM· PN = PK· PL . Кроме
того AK — высота прямоугольного треугольника APL ,
проведённая из вершины прямого угла PAL . Следовательно,
PQ2 = PM· PN = PK· PL = PA2.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.