Олимпиадная задача по планиметрии: хорда, окружности и касательная для 8-9 классов

а) Пусть O и O1— центры окружностей S и S1соответственно. Поскольку OP=ON и O1M = O1N (радиусы одной окружности), треугольники OPN и O1MN — равнобедренные, причём OPN — их общий угол при основаниях. Следовательно, точки N , M и P лежат на одной прямой.

Другой способ. Расмотрим гомотетию с центром в точке N касания окружностей, переводящую окружность S1в окружность S . Касательная AB к окружности S1перейдёт в параллельную ей касательную l к окружности S , касательная, параллельная хорде AB , делит дугу AB пополам. Тогда точка M перейдёт в середину P дуги AB , не содержащей точку N . Следовательно, прямая MN проходит через середину P этой дуги.

б) Продолжим радиус OP окружности S до пересечения с хордой AB в точке K . Тогда K — середина хорды AB . Применив теорему о касательной и секущей, теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд и теорему Пифагора, получим, что

Другой способ. Продолжим PO до пересечения с окружностью S в точке L . Прямоугольные треугольники PKM и PNL подобны, поэтому = , откуда PM· PN = PK· PL . Кроме того AK — высота прямоугольного треугольника APL , проведённая из вершины прямого угла PAL . Следовательно,

Ответ задачи отсутствует