Олимпиадная задача по планиметрии для 9–11 классов: окружности и вписанные точки
На диагонали BD вписанного четырёхугольника ABCD выбрана такая точка K, что ∠AKB = ∠ADC. Пусть I и I' – центры вписанных окружностей треугольников ACD и ABK соответственно. Отрезки II' и BD пересекаются в точке X. Докажите, что точки A, X, I, D лежат на одной окружности.
Разобрать решение
В треугольникахABKиACDуглыAKBиADCравны по условию, а ∠ABK= ∠ABD= ∠ACD как вписанные; значит, эти треугольники подобны. Следовательно, треугольникABKпереходит в треугольникACDпри поворотной гомотетии с центромA(то есть при повороте на уголBACи последующей гомотетии с коэффициентомAC/AB). При этой поворотной гомотетии точкаI'переходит в точкуI(так какI'иI– соответственные точки подобных треугольниковABKиACD), поэтому ∠I'AI= ∠BAC и AI/AI' = AC/AB. Значит, треугольникAII'подобен треугольникуACB, откуда ∠AIX= ∠AII'= ∠ACB. Но ∠ACB= ∠ADB, откуда ∠AIX= ∠ADX; это и означает, что точкиA, X, I, Dлежат на одной окружности.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.