Докажите равенство радиуса вписанной окружности и трети высоты треугольника – олимпиадная задача по планиметрии

Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, в котором  AC = b, BC = a, AB = ½ (a + b).  Тогда, если CQ – биссектриса треугольника ABC, то  BQ : AQ = BC : AC = a : b,  значит,  BQ = ^a/₂,  AQ = ^b/₂,  а так как BI – биссектриса треугольника BCQ, то  CI : IQ = 2 : 1.  Значит,

S_AIB = S_AIQ + S_QIB = ⅓ S_ACQ + ⅓ S_CQB = ⅓ S_ABC.  Следовательно, высоты треугольников AIB и ACB, опущенные на общее основание AB, относятся, как  1 : 3.  Первая из них и есть радиус вписанной окружности.