Олимпиадная задача по планиметрии: диагональ правильного пятиугольника

Пусть K – точка пересечения диагоналей BE и AC правильного пятиугольника ABCDE. Каждый угол правильного пятиугольника равен 108°, а угол между диагоналями, исходящими из одной вершины, равен 36°. Значит,  ∠KCB = ∠ACB = 36° = ∠BEC,  поэтому треугольники BCK и BEC подобны по двум углам. Кроме того,  ∠DCE = 36° = ∠BEC,  значит,  BE || CD.  Аналогично  DE || AC,  следовательно, четырёхугольник CDEK – параллелограмм, поэтому  EK = CD = a.  Из подобия треугольников BCK и BEC получим, что  BK : BC = BC : BE,  то есть  BC² = BK·BE,  или

a² = (BE – EK)BE = (d – a)d = d² – ad.